Абсолютные величины и их классификация. Элективный курс по математике "абсолютная величина". Образовательный портал Понятия и определения
Введение
1. Абсолютная величина в курсе средней школы
1.1 Определения и основные теоремы
1.2 Геометрическая интерпритация понятия |a|
2. Методы решения уравнений и неравенств
2.1 Решение уравнений и неравенств с использованием определения абсолютной величины (модуля)
2.2 Метод решения при помощи зависимостей между числами а и в, их модулями и квадратами этих чисел
2.3 Метод интервалов
2.4 Графический метод
2.5 Метод последовательного раскрытия модуля
2.6 Виды уравнений и неравенств и их решение
3. Дополнительные способы решения уравнений и неравенств
3.1 решение уравнений и неравенств, содержащих модуль, с использованием тождеств
3.2 Решение уравнений содержащих модули неотрицательных выражений
3.3 Решение уравнений с использованием геометрической интерпретации
3.4 Решение уравнений переходом к следствию
3.5 Типовые задачи, содержащие переменную под знаком модуля
3.6 Советы учителей по последовательности изучения уравнений и неравенств с модулем в школьном курсе математики
4. Уравнения и неравенства с модулем в Едином Национальном Тестировании (ЕНТ)
Заключение
Список использованной литературы
Введение
Актуальность темы связана с тем, что модуль широко применяется в различных разделах школьного курса математики, физики и технических науках. Например, в теории приближенных вычислений применяется понятия абсолютной и относительной погрешностей приближенного числа, понятия вектора и его длины (модуля вектора) используется в геометрии и механике, в математическом анализе понятие модуля содержится в определениях пределах, ограниченной функции. Я считаю, что эта тема требует более глубокого исследования, так как она прослеживается в различных заданиях повышенной сложности, которые предлагают учащимся авторы дидактических материалов, в задачах математических олимпиад, заданий ЕНТ и экзаменов при поступлении в вузы.
В практике преподавания математики в средней школе понятие абсолютной величины числа (модуля) встречается неоднократно.
В 6 классе, в теме приближенных вычислений формируется понятие абсолютой величины числа, при уяснении абсолютной погрешности приближенного числа.
Во втором полугодии 6 класса вводится определение абсолютной величины числа (модуля) и с помощью этого понятия формулируются правила действий над рациональными числами.
В 8 классе при рассмотрении свойств арифметического квадратного корня находит свое новое приложение понятие абсолютной величины числа:
;
,
где
и
другие.
В 9 классе, при изучении предела последовательности учащиеся встречаются с выражениями вида:
Понятие абсолютной величины числа получает свое дальнейшее развитие в 10 классе при изучении предела функции, при исследовании функции на ограниченность, при иучении комплексных чисел.
В 11 классее в теме «Степень с рациональным показателем» рассматриваются свойства корней n -й степени, где также используется понятие абсолютной велечины числа; так,например,
=
Таким образом, во всех классах, в соответствии с учебной программой, следует включать и рассматривать упражнения, содержащие знак абсолютной величины числа.
В 6 классе можно решать уравнения вида:
В 7 классе имеется вожможностьрссматривать решешие уравнений вида: и т.п., систем уравнений вида:
А так же пострение графиков функций: ; ; и др.
В
8 классе понятия абсолютной величины
распространяются на квадратные уравнения,
график квадратного трехчлена и др. можно
решать уравненияя вида:
;
;
Новизна дипломной работы : решили все уравнения и неравенства с моулем, встречающиеся в тестовых заданиях ЕНТ и рассмотрели основные ошибки, допускаемые учащимися при их решении.
Цель проведения нашего исследования – сделать анализ учебно-методического материала, выявить все методы решения уравнений и неравенств с модулем и объединить их в данной работе.
Для достижения поставленной необходимо решить следующие задачи :
Изучить основные теоремы и определения;
Описать основные методы решения уравнений и неравенств с модулем;
Выявить нестандартные методы решения уравнений и неравенств с модулем.
Объект исследования: процесс обучения уравнениям и неравенствам в школе.
Предмет исследования: методы решения уравнений и неравенств, содержащие знак модуля, в школьном курсе математики.
Практическая значимость дипломной работы состоит в том, что в данной дипломной предтавлены все методы и приемы решения уравнений и неравенств, которые можно использовать в школьном курсе математики.
Основными методами исследовани я в дипломной работе являются:
аналитический,
сравнительный,
изучение монографических публикаций и статей,
конкретно-исторический,
метод обобщения.
Данный диплом основан на следующих работах: «Абсолютная величина» Гайдуков И.И., «Уравнения и неравенства с модулями и методика их решения» Севрюков П.Ф., Смоляков А.Н., «Алгебра и начала анализа. Уравнения и неравенства 10 - 11кл» Олехник, Потапов, Пасиченко.
В первой главе рассматривается теоретическая сторона проблемы, основные теоремы и понятия, необходимые для дальнейшего исследования данной темы. уравнение задача неравенство
Во второй главе дипломной работы мы объединили методы решения уравнений и неравенств с модулем, которые входят в школьную программу.
В третьей главе мы представили нестандартные приемы решения уравнений и неравенств содержащие модуль, изучаемых на дополнительных занятиях и используемых при решении олимпиадных задач. Так же здесь рассмотрены типовые задания на решение уравнений и неравенств и задания тестовых вариантов Единого Национального Тестирования (ЕНТ).
При решении уравнений, содержащих знак абсолютной величины, мы будем основываться на определении модуля числа и свойствах абсолютной величины числа.
1. Абсолютная величина в курсе средней школы
1.1 Определения и основные теоремы
Рассмотрим понятие абсолютной велечины числа, или, что то же самое, модуля числа для действительных чисел.
Определение 1.1.1 Абсолютной величиной (модулем) действительного числа а называется неотрицательное число, взятое из двух чиисел а или - а.
Абсолютную величину числа а обозначают |а | и читают «абсолютная величина числа а», или «модуль числа а».
Из определения следует:
Из определения следует, что для любого действительного числа а, ≥0.
Примеры 1.1.1:
;
Теорема 1.1.1 Противоположные числа имеют равные абсолютные величины, т.е. = .
В самом деле, по определению абсолютной величины, имеем:
=
=
Следовательно,
1.2 Геометрическая интерпритация понятия
Известно, что каждому действительному числу можно поставить в соответствие точку числовой прямой, тогда эта точка будет геометрическим изображеннием данного действительного числа. Каждой точке числовой прямой соответствует ее расстояние от начала отсчета, иии длина отрезка, начало которого в точке начала отсчета, а конец – в данной точке.это расстояние, или длина отрезка, рассматривается всегда как величина неотрицательная.
Вместе с этим каждой точке числовой прямой можно поставить в соответсствие направленный отрезок(вектор), который характерезуется длинной и направлением.
Множеству действительных чисел соответствует множество точек ориентированной прямой, т.е. такой прямой на которой, кроме начала отсчета и маштаба, установлено положительное направление.
Тогда можно считать, что геометрической интерпритацией действительного числа служит вектор, выходящий из начала отсчета и имеющий конец в точке, изображающий данное число. Длина этого вектора будет геометрической интерпритацией абсолютной величины данного действительного числа.
Геометрическое толкование смысла наглядно потверждает, что = .
Примеры 1.2.1:
Если = 5, то а 1 =5 и а 2 =-5, или а = ±5.
Следовательно, данному равенству удовлетворяют два числа, которым на числовой прямой сответсвует две точки.
Если
˃10,
то
Откуда а ˃10 и а ˂ -10, или
Следовательно, данному нераввенству удовлетворяет множество чисел двух интервалов: (-∞;-10) и (10;∞), а на числовой прямой – два промежутка соответствующие этим интервалам.
Перевод алгебраической задачи на геометрический язык – удобный и мощный метод решения задач. В качестве еще одного примера разберем блок задач олимпиады:
Пример 1.2.2:
Дана
функция:
.
Решение: Построим график функции . Для этого заметим, что , а тогда мы можем сначала построить график функции , и затем отразить его относительно оси координат. Преобразуем выражение, задающее функцию :
Поскольку данная система определяет верхнюю полуокружность радиуса 2 с центром в точке , график исходной функции представляет собой объединение полуокружностей указанных на рисунке.
Теперь решение задач не представляет труда:
с) При решений нет, при уравнение имеет три решения, при – четыре решения, при – два решения.
b ) Неравенство выполнено при всех из отрезка .
a ) корень уравнения есть абцисса точки пересечения прямой с графиком ффункции . Найдем ее геометрически: заштрихованный на рисунке прямоугольный треугольник является равнобедренный(угловой коэффицент прямой равен -1), его гипотенуза есть радиус окружности, ее длина 2. Тогда длина катета, лежащего на оси абсцисс есть , а искомая абсцисса равна .
Геомет рический смысл модуля разности величин - это расстояние между ними. Например, геометрический смысл выражения |х–а | -длина отрезка координатной оси, соединяющей точки с абсциссами а и х. Перевод алгебраической задачи на геометрический язык часто позволяет избежать громоздких решений.
Пример 1.2.3: Решим уравнение |х–1|+|х–2|=1 с использованием геометрической интерпретации модуля.
Будем рассуждать следующим образом: исходя из геометрической интерпретации модуля, левая часть уравнения представляет собой сумму расстояний от некоторой точки абсцисс х до двух фиксированных точек с абсциссами 1 и 2. Тогда очевидно, что все точки с абсциссами из отрезка обладают требуемым свойством, а точки, расположенные вне этого отрезка- нет. Отсюда ответ: множеством решений уравнения является отрезок .
Ответ : х
Пример 1.2.4: Решим уравнение |х – 1| - |х – 2|=1 1 с использованием геометрической интерпретации модуля.
Будем рассуждать аналогично предыдущему примеру, при этом получим, что разность расстояний до точек с абсциссами 1 и 2 равна единице только для точек, расположенных на координатной оси правее числа 2. Следовательно решением данного уравнения будет являтся не отрезок, заключенный между точками 1 и 2, а луч, выходящий из точки 2, и направленный в положительном направлении оси ОХ.
Ответ: х сумма расстояний d+f равна длине отрезка АВ, т.е. 7. Так же легко установить, что для точек х<2 или х>5 сумма расстояний d+f>7 . Поэтому решением уравнения является интервал .
б) Раскроем знак модуля. Для этого нанесем точки -2 и 5 на числовую прямую. Эти точки разбивают ее на три интервала. Рассмотрим знаки модулей в каждом из промежутков.
В интервале 1 (х<-2) получаем: -(х–5)–(х+2)=7 или –х+5–х–2=7 или –2х+3=7 , откуда получаем: х=-2 . Но эта точка в рассматриваемый промежуток не входит. Поэтому х=-2 не является решением.
В интервале 2: х получаем: -(х–5)+(х+2)=7 или 7=7. Так как получилось верное равенство, то любая точка из этого промежутка является решением данного уравнения.
В интервале 3 (х>5) получаем: (х-5)+(х+2)=7 или 2х-3=7 , откуда х=5 . Точка х=5 в рассматриваемый промежуток не входит и не является решением уравнения.
Итак, решение данного уравнения: -2х5.
Упражнения для самостоятельной работы:
Решить уравнения:
Занятие №3. Решение квадратных уравнений с модулем.
Рассмотрим решение квадратных уравнений с модулями на примерах:
№1. Решить уравнение
Введем замену =у , тогда при у 0 уравнение принимает вид:
y 2 –6у+8=0, откуда у 1 = 2 и у 2 = 4. а х= 2 или -2; 4 или -4.
№2. Решить уравнение:
Уравнение равносильно системе: Откуда х =1.
№3. Решить уравнение:
2х – 1.
Уравнение имеет решение при условии, что 2х –10, а равенство возможно при условии: значения выражений х 2 +х –1 и 2х –1 одинаковы либо противоположны. Т.о. имеем: х0,5. Составим уравнения: х 2 +х –1=2х –1 или х 2 +х –1=-(2х –1); решая которые, получим
№4. Найти корни уравнения: 
.
Представим данное уравнение в виде: = х 2 – 1, откуда:
х – 1 = х 2 – 1,
или х – 1 = - (х 2 – 1).
х 2 – 1 при х - 1 и х 1 .Решая уравнения, получим из первого: х=0 и х=1 , из второго: х=-2 и х=1.
Ответ: х=1; х=-2.
№5. Найти целые корни уравнения: = .
Используя определение модуля, прходим к выводу, что равенство возможно, если значения выражений х–х 2 –1 и 2х+3–х 2 равны или противоположны, т.е. данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
Решая совокупность, получим корни данного уравнения: х=-4;-0,5;2. Целые среди них: -4 и 2.
№6. Решить уравнение: =2х 2 –3х+1.
Обозначим выражение 3х-1-2х 2 буквой а . Тогда данное уравнение примет вид: =-а . Исходя из аналитической записи определения модуля, можно сделать вывод, что данное уравнение равносильно неравенству: 3х–1-2х 2 0 , решая которое, получим ответ: х0,5 и х1.
Упражнения для самостоятельной работы.
Решить уравнение:
№1.=х 2 + х–20.
№2. + 3х -5=0,
№3. =(х–1)(х+1),
№4. х 2 –6+5=0,
№5. х 2 +8=9,
№6.=х 2 –6х+6,
№7. х =-8.
Занятие №4. Решение уравнений, содержащих абсолютную величину, с параметрами.
Рассмотрим пример: решить уравнение с параметром
Построим графики функций у=3–х и у=. График у=3–х фиксирован и от параметра не зависит. График у= получается из графика фукции у=, зависит от параметра а . Поэтому рассмотрим 3 случая:
Этот случай, как видно из рисунка, будет при а<3 . Графики этих функций пересекаются в единственной точке В. Рассмотрим треугольник АВС, в котором угол А равен углу В и равен 45 0 , проведем в этом треугольнике высоту ВД. Т.к. треугольник АВС – равнобедренный, то ВД также и медиана этого треугольника. Поэтому абсцисса точки Д х =(а + 3)/2.
Этот случай имеет место при а =3. Тогда графики функций совпадают по отрезку АВ и абсцисса любой точки этого луча является решением данного уравнения, т.е. х <3.
В этом случае а >3. Видно, что графики функций не пересекаются, т.е. не имеют общих точек. Поэтому уравнение решения не имеет.
Упражнения для самостоятельной работы:
Решите уравнения:
№3. (а–2)=а–2,
№4. а 2 х 2 +а=0.
Занятие №5. Решение линейных неравенств с модулями.
Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля, решают различными способами; рассмотрим достаточно простой пример:
№1.Решить неравенство:
Первый способ: Имеем: >4,
Геометрически выражение означает расстояние на координатной прямой между точками х и 2,5. Значит, нам нужно найти все такие точки х , которые удалены от точки 2,5 более чем на 2, - это точки из промежутков х<0,5 и х>4,5.
Второй способ: Поскольку обе части заданного неравенства неотрицательны, то возведем обе части этого неравенства в квадрат: 2 >4 2 .
(2х–5) 2 >4 2 ,
(2х–5) 2 –16>0,
(2х–5–4)(2х–5+4)>0,
2(х–4,5) 2(х–0,5)>0,
(х–4,5)(х–0,5)>0.
Применив метод интервалов, получим: х<0 ,5 и х>4,5 .
Третий способ: Выражение 2х–5 может быть неотрицательным или отрицательным. Т.е. имеем совокупность двух систем:
Откуда: х<0,5 и х>4,5 .
Рассмотрим еще несколько примеров.
Пример №2.Решить неравенство: <3.
Данное неравенство равносильно совокупности двух систем:
Из первой системы получаем 2х<5 , из второй -1<х<2 . Объединяя эти два решения, получаем: -1<х<5 .
Пример №3. Решить неравенство: 3х+3 .
Данное неравенство равносильно двойному
неравенству -х-33х–3х+3
или системе 
Имеем: 0х3.
Упражнения для самостоятельной работы:
Решить неравенства:
№1. <3х+1,
№3. ->-2.
Занятие № 6. Решение квадратных неравенств с модулями.
Рассмотрим пример №1. Решите неравенство: +х–2<0 .
Данное неравенство можно решить методом интервалов. Рассмотрим иное решение, основанное на следующем утверждении: при любом значении а неравенство равносильно системе неравенств: , а неравенство равносильно совокупности неравенств .
Поэтому наше неравенство равносильно системе
неравенств: 
решая
которые, получим: 
Запишем ответ: (1-;2-).
Пример №2. Найти целые решения неравенства: 2х–х 2 . Задача сводится к решению совокупности двух систем неравенств:
Решим первую систему: из первого неравенства имеем: х1; х2 .
из второго: 2х 2 –5х+20 , или 0,5х2 .
Отметив найденные решения первого и второго неравенств первой системы на координатной прямой, находим пересечение решений.
Т.о. 0,5х1 и х=2 . Это решение первой системы.
Решим вторую систему: из первого неравенства имеем: 1<х<2 , из второго: -(х 2 -3х+2)2х–х 2 , или – х 2 +3х–2–2х+ х 2 0 , или х2 .
Отметив найденные решения первого и второго неравенств второй системы на координатной прямой, получим: 1<х<2 . Это решение второй системы.
Объединив найденные решения систем неравенств 0,5x1; х=2; 1
Упражнения для самостоятельной работы:
Решите неравенства:
№3. <3х–3,
№4. х 2 -3+2>0,
№5. х 2 -х<3,
№6. х 2 -6х+7-<0,
№7. 3+х 2 –7>0,
№8. >.
Занятие № 7 . Решение неравенств, содержащих абсолютную величину, с параметрами.
Пример. При каких значениях а верно неравенство: ах 2 +4+а+3<0 ?
При х0 имеем ах 2 +4х+а+3<0 . Старший коэффициент а должен быть отрицательным, дискриминант – меньше нуля.
а<0, Д=16–4а(а+3)<0; 16-4а 2 -12а<0; а 2 +3а-4>0; а<-4 и а>1 ;
абсцисса вершины параболы х 0 =-в/2а=- 4/2а=-2/а 0 , откуда а<-4 .
При х<0 имеем ах 2 –4х+а+3<0 . Рассуждая аналогично, получим: а<-4 .
Ответ: при а<-4 данное неравенство выполняется при всех действительных значениях х.
Упражнения для самостоятельной работы:
Решите неравенства с параметрами:
№2. (х–а)<0,
№3. Существуют ли такие значения а, при которых неравенство ах 2 >2+5 не имеет решений?
Занятия №8 - 9 . Метод интервалов решения уравнений и неравенств, содержащих модуль.
Рассмотрим метод интервалов на примере решения уравнения
-+3-2=х+2 .
Чтобы решить данное неравенство, необходимо раскрыть модули. Для этого выделим интервалы, на каждом из которых выражения, стоящие под знаком модуля, принимают только положительные или отрицательные значения. Отыскание таких интервалов основано на теореме: если на интервале (а; в) функция f непрерывна и не обращается в нуль, то она на этом интервале сохраняет постоянный знак.
Чтобы выделить интервалы знакопостоянства, найдем точки, в которых выражения, записанные под модулем, обращаются в нуль:
х+1=0, х=-1; х=0; х–1=0, х=1; х–2=0, х=2.
Полученные точки разобьют прямую на искомые интервалы. Определим знаки выражений
х+1, х, х–1, х–2 на этих интервалах:
Учитывая знаки, раскроем модули. В результате получим совокупность систем, равносильную данному уравнению:
Последняя совокупность приводится к виду:
Решение совокупности систем и данного уравнения: -2; х 2.
Использованный прием называется методом интервалов . Он применяется и при решении неравенств.
Решить неравенство: +х–2<0.
1) Найдем нули выражения: х 2 -3х .
х 1 =0, х 2 =3.
2) Разобьем координатную прямую на интервалы и установим знак выражения х 2 -3х на каждом интервале:
3) Раскроем модуль: 
Решение первой системы: , решение второй . Решение данного
неравенства: 
.
Упражнения для самостоятельной работы:
№3
Занятие №10 - 11 . Решение неравенств вида , посредством равносильных переходов.
Рассмотрим неравенства вида и . Примем без доказательства следующую теорему: при любом значении а неравенство равносильно системе неравенств а неравенство равносильно совокупности неравенств
Рассмотрим пример: решить неравенство:
>х+2
.
Пользуясь сформулированной теоремой, перейдем к совокупности неравенств:
Система и неравенство 0х>2 не имеют решений. Следовательно, решением совокупности (и данного неравенства) является х .
Упражнения для самостоятельной работы:
Занятие № 12. Применение свойств абсолютной величины при решении уравнений и неравенств.
При решении некоторых заданий находят применение свойства модуля. (При необходимости повторить их, см. занятие № 1).
Проиллюстрируем применение свойств модуля при решении следующих примеров.
Задания на построение графиков функции «модуль» и задачи с параметрами традиционно - это одна из самых трудных тем математики, поэтому она всегда включена в задания повышенного и высокого уровня ГИА и ЕГЭ.
Понятие «модуль» изучается в школе с 6 класса, причем на уровне,только определения и вычисления, несмотря на то, что он широко применяется во многих разделах школьного курса математики, например, в изучении абсолютной и относительной погрешностей приближенного числа; в геометрии и физике будут изучаться понятия вектора и его длины (модуля вектора). Понятия модуля применяется в курсах высшей математики, физики и технических наук, изучаемых в высших учебных заведениях.
Перед выпускниками стоит проблема – удачно сдать ГИА в 9классе, а в дальнейшем и ЕГЭ.
В этом году на уроках математики мы познакомились с понятием линейной функции и научились строить ее график. Было показано, что этот ее график берется за основу построения функции «модуль». Кроме того, учитель сказала, что уравнения бывают с одним и несколькими модулям. Я решила глубже изучить эту тему, тем более, что она мне пригодится при сдаче экзаменов.
Тема «Графический метод решения уравнений, содержащих абсолютную величину»
Цель работы : исследование возможности рационального построения графиков с модулями для решения уравнений, содержащих модуль и параметр
Изучить теорию по решению методов уравнений с модулем.
Научиться решать уравнения 1 й степени, содержащие знак абсолютной величины.
Классифицировать графические методы решения уравнений.
Проанализировать достоинства и недостатки различных методов построения графиков функции «модуль».
Узнать, что такое параметр
Применить рациональные методы для решения уравнений с параметром
Объект – методы решения уравнений с модулем
Предмет графический метод решения уравнений
Методы исследования: теоретические и практические:
теоретические - это изучение литературы по теме исследования; интернет – информации;
практические- это анализ информации, полученной при изучении литературы, результатов, полученных при решении уравнений с модулем различными способами;
сравнение способов решения уравнений предмет рациональности их использования при решении различных уравнений с модулем.
Глава I
Понятия и определения
1.1.Понятие «модуль» широко применяется во многих разделах школьного курса математики, например, в изучении абсолютной и относительной погрешностей приближенного числа; в геометрии и физике изучаются понятия вектора и его длины (модуля вектора). Понятия модуля применяется в курсах высшей математики, физики и технических наук, изучаемых в высших учебных заведениях.
Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus », что в переводе означает «мера». Это слово имеет множество значений и применяется не только в математике, физике и технике, но и в архитектуре, программировании и других точных науках.Считают, что термин предложил использовать Котс, ученик Ньютона. Знак модуля был введен в XIX веке Вейерштрассом.
В архитектуре модуль– исходная единица измерения, устанавливаемая для данного архитектурного сооружения.В технике – это термин, применяемый в различных областях техники, служащий для обозначения различных коэффициентов и величин, например, модуль упругости, модуль зацепления.В математике модуль имеет несколько значений, но я буду рассматривать его как абсолютную величину числа.
Определение: Модулем (абсолютной величиной) действительного числа а называется само это число, если а ≥0, или противоположное число – а , если а<0; модуль нуля равен нулю.
Модуль-это расстояние на координатной прямой от нуля до точки.
1.2. Уравнение с модулем – это уравнение, содержащее переменную под знаком абсолютной величины (под знаком модуля). Решить уравнение-это значит найти все его корни, или доказать, что корней нет. Методы решения уравнений с модулем:
1.По определению модуля - «снятие модуля». Решение происходит на основе определения.
2.Аналитический метод- решение уравнений с использованием преобразований выражений, входящих в уравнение и свойств модуля.
3.Метод интервалов: раскрытие модуля на интервалах и полуинтервалах, образованными «нулями» модулей.
4.Графический метод. Суть этого способа заключается в том, чтобы построить графики данных функций, представляющих левую и правую часть уравнения. В случае, если графики пересекутся, то абсциссы точек пересечений данных графиков будут являться корнями данного уравнения.
1.3.Методы построения графиков функции с модулем
1.3.1. По определению. Строятся две прямые у=кх+в, где х>0, у=-кх+в, где х <0
1.3.2 Метод симметрии. Строится график у=кх+в, при х>0.Часть прямой при х <0 отображается относительно оси абцисс.
1.3.3.Преобразование функций:
а) у=|x |+n график сдвигается вверх по оси ординат на в единиц
б) у=|x |-n график сдвигается вниз по оси ординат
с) у=|x +n | график сдвигается влево по оси абцисс
d )у=|x -n | график сдвигается вправо по оси абцисс
1.3.4. Метод интервалов. Координатная прямая разбивается на интервалы и полуинтервалы нулями модулей. Далее, используя определение модуля, для каждой из найденных областей получим уравнение, которое необходимо решить на данном промежутке и получить функцию.
1.3.5. Метод расширения областей нулей. В том случае, когда модулей несколько, удобнее не раскрывать модули, а использовать следующее утверждение: алгебраическая сумма модулей n линейных выражений представляет собой кусочно-линейную функцию, график которой состоит из n +1 прямолинейных отрезков.
Тогда график может быть построен по n +2 точкам, n из которых представляют собой корни внутримодульных выражений, ещё одна - произвольная точка с абсциссой, меньшей меньшего из этих корней и последняя - с абсциссой, большей большего из корней.
1.4. Имеем уравнение ax+b=c. В этом уравнении х – неизвестное, a,b,c – коэффициенты, которые могут принимать различные числовые значения. Заданные таким образом коэффициенты называются параметрами. Одно уравнение с параметрами задает множество уравнений (для всех возможных значений параметров).
это все уравнения, которые задает уравнение с параметрами ax+b=c.
Решить уравнение с параметрами – это значит:
Указать, при каких значениях параметров уравнение имеет корни и сколько их при разных значениях параметров.
Найти все выражения для корней и указать для каждого из них те значения параметров, при которых это выражение определяет корень уравнения.
1.5.Выводы:
Таким образом, существуют разные методы построения графиков с модулем, которые необходимо исследовать на возможность их рационального применения.
Глава II
Анализ методов построения графиков функций, содержащих модуль, и применение
«График – это говорящая линия,
которая может о многом рассказать»
М.Б.Балк
2.1. Изучая виды уравнений с модулем, мы увидели, что их можно и разделить по типам и методам решения.
Таблица. Классификация типов уравнений и их методов решения.
Тип уравнения
Вид уравнения
Метод решения
1.Уравнение с одним модулем
|x
n|=a
|x|n=a
1.По определению модуля
2.Графический
3.Аналитический
2.Уравнение, содержащее 2 модуля
|xn||xm|=a
1.По определению модуля
2.Графический
3.Метод интервалов
4.Аналитический
3.Вложенные модули
|||xn|m||=
а
1.По определению модуля
2.Графический
Вывод: таким образом, классификация уравнений дает нам общие методы решения всех типов уравнений - это по определению модуля и графический метод.
2.2.Анализ построения графиков .
2.2.1. Тип 1. Построение у=|x
|
2.2.1.1.По определению .
1.Строим прямую у=х
2.Выделяем часть прямой при х
0
3.Строим прямую у=-х
4.Выделяем часть прямой при х<0
2.2.1.2. Метод симметрии
1.Строим прямую у=х
2.Строим симметрию относительно оси абцисс при х<0
2.2.1.3. Построение у=|x -2|
1.Строим прямую у=х-2
2.Выделяем часть прямой при х-20
3.Строим прямую у=-х+2
4.Выделяем часть прямой при х-2<0
Вывод: метод симметрии рациональнее
2.2.2. Тип 2.
Задание: построить график у=
2.2.2.1.Метод интервалов
1.
на 
получаем у=-х+3+1-х-4 ; у = -2х
2. на 
получаему=-х+3-1+х-4; у = -2
3. на 
получаем у=х-3-1+х-4; у = 2х-8
4.Строим все прямые.
5.Выделяем части прямых на интервалах
2.2.2.2.Метод расширения областей нулей
1.Нули: 3 и 1; расширенная область: 2,4,0
2.Вычисляем значения в: 3,1,2,4,0 это: -2, -2, -2, 0, 0
3.Расставляем точки с их координатами и соединяем
Вывод: Метод расширения области нулей рациональнее
2.2.3. Тип 3. Вложенные модули-«матрешка»
И
сследуем построение у=||х|-1|
2.2.3.1. По определению модуля
По определению главного модуля имеем:
1) х>0 у=|х|-1
2) х<0 у=-|х|+1
2. «Снимаем» следующий модуль:
Модуль: у=х-1, х>0 и у=-х+1 х<0
у=-х+1 х>0 у=х-1 х<0
3. Строим графики
2.2.3.2.Метод симметрии
1. у=|х|-1
у=х-1,симметрия
2. Симметрия относительно оси абцисс части графика, где х-1<0
Вывод: метод симметрии рациональнее.
2.2.4. Сведем анализ результатов в таблицу:
Знания и умения
Недостатки
По определению
Определение модуля
Знать: как определяются координаты точек прямых
Уметь выделять часть прямой по неравенству
Громоздкие решения
Применение большого объема знаний
При «снятии» модуля можно допустить ошибки
Метод симметрии
Знать и уметь применять преобразование функции
Строить симметрию относительно оси абцисс
Знание алгоритмов преобразования графиков
Метод интервалов
Находить нули модуля
Определять интервалы и полуинтервалы
Раскрывать модули
Вычислять модули
Приводить подобные слагаемые
Уметь строить точки по их координатам
Строить прямые
Громоздкие решения
Много вычислений и преобразований при снятии нулей
Занимает много времени
Правильность определения интервалов и полуинтервалов
Метод расширения области нулей
Находить нули модуля
Уметь расширять область нулей
Уметь вычислять модули в этих точках
Уметь строить точки по их координатам
Допуск ошибок в вычислениях
Метод преобразований функций
Знать алгоритм преобразования
Уметь строить точки по их координатам
Уметь вычислять координаты точек
Уметь применять алгоритм преобразования
Знание алгоритмов преобразования графиков
Вывод: анализируя таблицу, делаем вывод, что метод симметрии и расширения области нулей самые рациональные, т.к. содержат меньше всего действий для построения, а значит экономят времени.
2.3.Применение рациональных методов построения графиков к решению уравнений с модулем и параметром
2.3.1. Решить уравнение:
Строим у=
и у=0,5-х
2.Расширенная область:-1,2
3.(0;-1), (1;1), (-1;-1) (2;1)
4.Проводим отрезки и лучи
2.3.2. ЕГЭ
2009г. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение 
, имеет ровно 1 корень.а =7.
в ходе проделанной работы нам удалось изучить и проанализировать разные методы построения графиков.
В результате анализа и сравнения методов построения графиков получили следующие выводы:
Перевод алгебраической задачи на язык г рафиков позволяет избежать громоздких решений;
При решении уравнений, содержащих модуль и параметр, графический способ является более наглядным и сравнительно более простым;
При построении графиков, содержащих 2 модуля и «матрешку» практичнее метод симметрии;
Хотя графический способ решения уравнений является приближенным, т.к. точность зависит от выбранного единичного отрезка, толщины карандаша, углов под которыми пересекаются линии и т.д., но этот метод позволяет оценивать кол-во корней уравнений для решения уравнений с параметром.
Учитывая, что одни из самых популярных заданий на ЕГЭ и ГИА уравнения с модулем, то, что главным моим результатом является то, что я могу решать уравнения с модулем и параметром графическим способом.
Список литературы
1.Данкова И. «Предпрофильная подготовка по математике», Москва, 2006г.
2. Внеклассная работа по математике. Альхова З.Н., Макеева А.В., г. Саратов: Лицей, 2003.
3.Математика. Учебное пособие под редакцией Муравья Л.Я., г. Москва Бридж, 1994.
4. Математика. 8-9 классы: сборник элективных курсов. Выпуск-2.Автор-составитель: М.Е. Козина., г. Волгоград: Учитель,2007
5. Ястребинецкий Г.А. Задачи с параметрами. М,2006г.
В настоящее время на выпускных экзаменах за курс средней школы и на вступительных экзаменах в различные учебные заведения предлагаются уравнения с модулем и параметрами, решения которых часто вызывает у учащихся затруднения. Рассмотрим решение различных видов уравнений, объединяющим признаком для которых будет только наличием знака абсолютной величины.
Скачать:
Предварительный просмотр:
Решение уравнений, содержащих знак модуля (абсолютной величины)
В настоящее время на выпускных экзаменах за курс средней школы и на вступительных экзаменах в различные учебные заведения предлагаются уравнения с модулем и параметрами, решения которых часто вызывает у учащихся затруднения. Рассмотрим решение различных видов уравнений, объединяющим признаком для которых будет только наличием знака абсолютной величины.
По определению модулем (абсолютной величиной) действительного числа а (обозначается |а|) называется само это число, если а≥0 , и противоположное число -а , если а
, при
а≥0
и
, при
а
Геометрически |а| означает расстояние на координатной прямой от точки, изображающей число а , до начала отсчета. Модуль нуля равен нулю, а если а≠0 , то на координатной прямой существуют две точки а и –а , равноудаленные от нуля, модули которых равны |а|=|-а|.
Прежде чем приступать к изучению методов решения уравнений, содержащих знак абсолютной величины, нужно добиться четкого понимания действия этого знака на числа. По существу, определение модуля вводит новую унарную операцию на множестве действительных чисел, т.е. операцию, производимую с одним числом, в отличие от более привычных бинарных операций сложения, вычитания, умножения и деления. Проверить правильность понимание знака модуля можно на упражнениях следующих видов.
1. Чему равна разность ?
2. Чему равна сумма ?
3. Чему равна дробь ?
4. Верно ли утверждение: если , то a=b?
5. Верно ли утверждение: если a=b , то ?
6. При каких значениях х верно равенство:
а). х = |х|; б). –х = |-х|; в). –х = |х|?
7. Имеет ли корни уравнение и если имеет, то сколько:
а). |х|=0 ; б). |х|=1; в). |х|=-3; г ). |-х|=2; д). |х|=1,2?
8. Запишите выражение без знака абсолютной величины:
а). |х+2|; б ). |х+2|+х; в). -2|х+2|-х; г). |2-х|;
д). -2|2-х|+2-х; е). |х-|х||; ж). |х+2|х||+2х.
Задача 3.1 , Может ли быть верным равенство
И если да, то когда ?
Часто встречается такой ответ: «Данное равенство верно в том случае, когда числа а и b имеют разные знаки». Ответ не является полным, поскольку в нем ничего не говорится о том случае, когда одно из этих чисел обращается в ноль. Здесь допущена распространенная ошибка, которая заключается в неполноте проведенной классификации. В данном случае следует учитывать, что, кроме положительных и отрицательных чисел, существует еще и ноль. Правильный ответ : при .
Рассмотрим некоторые частные случаи уравнений с модулем.
1. Решение уравнения .
По определению абсолютной величины, данное уравнение распадается на совокупность двух смешанных систем:
F(x)=a f(-x)=a
Так как функция четная, то ее корни будут существовать парами противоположных чисел, т.е. если α – корень уравнения, то и –α также будет корнем данного уравнения. Следовательно, достаточно решить лишь одну из этих двух систем.
Пример 1 . Решить уравнение 2|х|-4,5-0,5|х|=7,5.
Это уравнение достаточно простое, и пока нет смысла записывать его в виде двух систем, а можно просто привести подобные и перегруппировать: 1,5|х|=12 → |х|=8 → х 1 =-8, х 2 =8.
Пример 2 . Решить уравнение х 2 -|х|=6.
Как было сказано выше, уравнение распадается на две системы, но в силу четности функции можно решать только одну систему, не забывая к полученным решениям добавить значения противоположных знаков.
Х 2 -х-6=0, х 1 =-2, х 2 =3
Х≥0 х≥0
Решением системы будет значение х=3 , а решением данного уравнения два значения: х 1 =-3, х 2 =3 .
Для решения подобного уравнения графически нужно для неотрицательных значений х построить график функции у 1 = f(x) , отразить его симметрично относительно оси Оу в область отрицательных значений х и затем построить график функции у 2 =а . Решением будут абсциссы точек пересечения графиков у 1 и у 2 .
2. Решение уравнения вида .
Решение такого уравнения распадается на совокупность двух смешанных систем:
F(x)=φ(х) f(x)= - φ(х)
φ(х) φ(х)
3. Решение уравнений вида .
Находим корни двучленов, стоящих под знаком абсолютной величины: …
Пусть x 1 2 k . Данное уравнение последовательно решают на промежутках: (-∞, x 1 ], , …, Уравнение принимает вид -х 2 +5х-6=5х-х 2 -6 и после преобразований оно не зависит от х: -6=-6 . Значит, х может быть любым из рассматриваемого промежутка.
Окончательное решение уравнения х .
Пример 3 . Решить уравнение |х 2 -1|=-|х|+1
Первый модуль дает две характеристические точки х 1 =-1 , х 2 =1 , второй модуль точку х=0 . Область допустимых значений разбивается на четыре промежутка (-∞; -1) [-1; 0] (0; 1] (1;+ ∞) , в каждом из которых мы должны раскрывая модули внимательно смотреть на знак стоящих выражений.
а). х (-∞; -1) : х 2 -1=х+1, х 2 -х-2=0 . Корни этого уравнения х 1 =-1 , х 2 =2 не попадают в выбранный открытый промежуток. Здесь нужно сделать важное замечание. При разбиении области допустимых значений на промежутки характеристические точки включаются в промежутки по вашему усмотрению, можно каждую характеристическую точку включать в оба промежутка, границей которых она служит, а можно только в один из них. К ошибке это не приведет.
б). х [-1; 0] : -х 2 +1=х+1, х 2 +х=0, х 1 =-1 , х 2 =0. Оба корня входят в рассматриваемый промежуток и, следовательно, являются решениями исходного уравнения.
в). х (0; 1] : -х 2 +1=-х+1, х 2 -х=0, х 1 =0 , х 2 =1 . Второй корень попадает в промежуток.
г). х (1;+ ∞) : х 2 -1=-х+1, х 2 +х-2=0, х 1 =-2 , х 2 =1 . Оба корня не входят в промежуток.
Окончательное решение данного уравнения, содержит три корня: х 1 =-1 , х 2 =0, х 3 =1.
Во всех показанных примерах уравнений с модулями возможно было графическое решение, порой оно даже более быстрое, чем долгий перебор всех промежутков, на которые разбивается характеристическими точками область допустимых значений.
Тренировочные упражнения.
- | x+5| = |10+x|
- |3x+1|+x=9
- |x-3|+2|x+1|=4
