Решение квадратных уравнений. Решение полных квадратных уравнений Методы решения полных квадратных уравнений
Напоминаем, что полное квадратное уравнение, это уравнение вида:
Решение полных квадратных уравнений немного сложнее (совсем чуть-чуть), чем приведенных.
Запомни, любое квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта!
Даже неполное.
Остальные способы помогут сделать это быстрее, но если у тебя возникают проблемы с квадратными уравнениями, для начала освой решение с помощью дискриминанта.
1. Решение квадратных уравнений с помощью дискриминанта.
Решение квадратных уравнений этим способом очень простое, главное запомнить последовательность действий и пару формул.
Если, то уравнение имеет 2 корня. Нужно особое внимание обратить на шаг 2.
Дискриминант D указывает нам на количество корней уравнения.
- Если, то формула на шаге сократится до. Таким образом, уравнение будет иметь всего корень.
- Если, то мы не сможем извлечь корень из дискриминанта на шаге. Это указывает на то, что уравнение не имеет корней.
Обратимся к геометрическому смыслу квадратного уравнения.
График функции является параболой:
Вернемся к нашим уравнениям и рассмотрим несколько примеров.
Пример 9
Решите уравнение
Шаг 1 пропускаем.
Шаг 2.
Находим дискриминант:
А значит уравнение имеет два корня.
Шаг 3.
Ответ:
Пример 10
Решите уравнение
Уравнение представлено в стандартном виде, поэтому Шаг 1 пропускаем.
Шаг 2.
Находим дискриминант:
А значит уравнение имеет один корень.
Ответ:
Пример 11
Решите уравнение
Уравнение представлено в стандартном виде, поэтому Шаг 1 пропускаем.
Шаг 2.
Находим дискриминант:
Азначит мы не сможем извлечь корень из дискриминанта. Корней уравнения не существует.
Теперь мы знаем, как правильно записывать такие ответы.
Ответ: Корней нет
2. Решение квадратных уравнений с помощью теоремы Виета
Если ты помнишь, то есть такой тип уравнений, которые называются приведенными (когда коэффициент а равен):
Такие уравнения очень просто решать, используя теорему Виета:
Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна, а произведение корней равно.
Нужно всего лишь подобрать такую пару чисел, произведение которых равно свободному члену уравнения, а сумма - второму коэффициенту, взятому с обратным знаком.
Пример 12
Решите уравнение
Это уравнение подходит для решения с использованием теоремы Виета, т.к. .
Сумма корней уравнения равна, т.е. получаем первое уравнение:
А произведение равно:
Составим и решим систему:
- и. Сумма равна;
- и. Сумма равна;
- и. Сумма равна.
и являются решением системы:
Ответ: ; .
Пример 13
Решите уравнение
Ответ:
Пример 14
Решите уравнение
Уравнение приведенное, а значит:
Ответ:
КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ
Что такое квадратное уравнение?
Другими словами, квадратное уравнение - это уравнение вида, где - неизвестное, - некоторые числа, причем.
Число называют старшим или первым коэффициентом квадратного уравнения, - вторым коэффициентом , а - свободным членом .
Потому что если, уравнение сразу станет линейным, т.к. пропадет.
При этом и могут быть равны нулю. В этом стулчае уравнение называют неполным .
Если же все слагаемые на месте, то есть, уравнение - полное .
Методы решения неполных квадратных уравнений
Для начала разберем методы решений неполных квадратных уравнений - они проще.
Можно выделить типа таких уравнений:
I. , в этом уравнении коэффициент и свободный член равны.
II. , в этом уравнении коэффициент равен.
III. , в этом уравнении свободный член равен.
Теперь рассмотрим решение каждого из этих подтипов.
Очевидно, что данное уравнение всегда имеет только один корень:
Число, возведенное в квадрат, не может быть отрицательным, ведь при перемножении двух отрицательных или двух положительных чисел результатом всегда будет положительное число. Поэтому:
если, то уравнение не имеет решений;
если, имеем учаем два корня
Эти формулы не нужно запоминать. Главное помнить, что не может быть меньше.
Примеры решения квадратных уравнений
Пример 15
Ответ:
Никогда не забывай про корни с отрицательным знаком!
Пример 16
Квадрат числа не может быть отрицательным, а значит у уравнения
нет корней.
Чтобы коротко записать, что у задачи нет решений, используем значок пустого множества.
Ответ:
Пример 17
Итак, это уравнение имеет два корня: и.
Ответ:
Вынесем общим множитель за скобки:
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. А это значит, что уравнение имеет решение, когда:
Итак, данное квадратное уравнение имеет два корня: и.
Пример:
Решите уравнение.
Решение:
Разложим левую часть уравнения на множители и найдем корни:
Ответ:
Методы решения полных квадратных уравнений
1. Дискриминант
Решать квадратные уравнения этим способом легко, главное запомнить последовательность действий и пару формул. Запомни, любое квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта! Даже неполное.
Ты заметил корень из дискриминанта в формуле для корней?
Но ведь дискриминант может быть отрицательным.
Что делать?
Нужно особое внимание обратить на шаг 2. Дискриминант указывает нам на количество корней уравнения.
- Если, то уравнение имеет корня:
- Если, то уравнение имеет одинаковых корня, а по сути, один корень:
Такие корни называются двукратными.
- Если, то корень из дискриминанта не извлекается. Это указывает на то, что уравнение не имеет корней.
Почему возможно разное количество корней?
Обратимся к геометрическому смыслу квадратного уравнения. График функции является параболой:
В частном случае, которым является квадратное уравнение, .
А это значит, что корни квадратного уравнения, это точки пересечения с осью абсцисс (ось).
Парабола может вообще не пересекать ось, либо пересекать ее в одной (когда вершина параболы лежит на оси) или двух точках.
Кроме того, за направление ветвей параболы отвечает коэффициент. Если, то ветви параболы направлены вверх, а если - то вниз.
4 примера решения квадратных уравнений
Пример 18
Ответ:
Пример 19
Ответ: .
Пример 20
Ответ:
Пример 21
А значит, решений нет.
Ответ: .
2. Теорема Виета
Использовать теорему Виета очень легко.
Нужно всего лишь подобрать такую пару чисел, произведение которых равно свободному члену уравнения, а сумма - второму коэффициенту, взятому с обратным знаком.
Важно помнить, что теорему Виета можно применять только в приведенных квадратных уравнениях ().
Рассмотрим несколько примеров:
Пример 22
Решите уравнение.
Решение:
Это уравнение подходит для решения с использованием теоремы Виета, т.к. . Остальные коэффициенты: ; .
Сумма корней уравнения равна:
А произведение равно:
Подберем такие пары чисел, произведение которых равно, и проверим, равна ли их сумма:
- и. Сумма равна;
- и. Сумма равна;
- и. Сумма равна.
и являются решением системы:
Таким образом, и - корни нашего уравнения.
Ответ: ; .
Пример 23
Решение:
Подберем такие пары чисел, которые в произведении дают, а затем проверим, равна ли их сумма:
и: в сумме дают.
и: в сумме дают. Чтобы получить, достаточно просто поменять знаки предполагаемых корней: и, ведь произведение.
Ответ:
Пример 24
Решение:
Свободный член уравнения отрицательный, а значит и произведение корней - отрицательное число. Это возможно только если один из корней отрицательный, а другой - положительный. Поэтому сумма корней равна разности их модулей .
Подберем такие пары чисел, которые в произведении дают, и разность которых равна:
и: их разность равна - не подходит;
и: - не подходит;
и: - не подходит;
и: - подходит. Остается только вспомнить, что один из корней отрицательный. Так как их сумма должна равняться, то отрицательным должен быть меньший по модулю корень: . Проверяем:
Ответ:
Пример 25
Решите уравнение.
Решение:
Уравнение приведенное, а значит:
Свободный член отрицателен, а значит и произведение корней отрицательно. А это возможно только тогда, когда один корень уравнения отрицателен, а другой положителен.
Подберем такие пары чисел, произведение которых равно, а затем определим, какой корней должен иметь отрицательный знак:
Очевидно, что под первое условие подходят только корни и:
Ответ:
Пример 26
Решите уравнение.
Решение:
Уравнение приведенное, а значит:
Сумма корней отрицательна, а это значит что, по крайней мере, один из корней отрицателен. Но поскольку их произведение положительно, то значит оба корня со знаком минус.
Подберем такие пары чисел, произведение которых равно:
Очевидно, что корнями являются числа и.
Ответ:
Согласись, это очень удобно - придумывать корни устно, вместо того, чтобы считать этот противный дискриминант.
Старайся использовать теорему Виета как можно чаще!
Но теорема Виета нужна для того, чтобы облегчить и ускорить нахождение корней.
Чтобы тебе было выгодно ее использовать, ты должен довести действия до автоматизма. А для этого порешай-ка еще пяток примеров.
Но не жульничай: дискриминант использовать нельзя! Только теорему Виета!
5 примеров на теорему Виета для самостоятельной работы
Пример 27
Задание 1. {{x}^{2}}-8x+12=0
По теореме Виета:
Как обычно, начинаем подбор с произведения:
Не подходит, так как сумма;
: сумма - то что надо.
Ответ: ; .
Пример 28
Задание 2.
И снова наша любимая теорема Виета : в сумме должно получиться, а произведение равно.
Но так как должно быть не, а, меняем знаки корней: и (в сумме).
Ответ: ; .
Пример 29
Задание 3.
Хм… А где тут что?
Надо перенести все слагаемые в одну часть:
Сумма корней равна, произведение.
Так, стоп! Уравнение-то не приведенное.
Но теорема Виета применима только в приведенных уравнениях.
Так что сперва нужно уравнение привести.
Если привести не получается, бросай эту затею и решай другим способом (например, через дискриминант).
Напомню, что привести квадратное уравнение - значит сделать старший коэффициент равным:
Тогда сумма корней равна, а произведение.
Тут подобрать проще простого: ведь - простое число (извини за тавтологию).
Ответ: ; .
Пример 30
Задание 4.
Свободный член отрицательный.
Что в этом особенного?
А то, что корни будут разных знаков.
И теперь во время подбора проверяем не сумму корней, а разность их модулей: эта разность равна, а произведение.
Итак, корни равны и, но один из них с минусом.
Теорема Виета говорит нам, что сумма корней равна второму коэффициенту с обратным знаком, то есть.
Значит, минус будет у меньшего корня: и, так как.
Ответ: ; .
Пример 31
Задание 5.
Что нужно сделать первым делом?
Правильно, привести уравнение:
Снова: подбираем множители числа, и их разность должна равняться:
Корни равны и, но один из них с минусом. Какой? Их сумма должна быть равна, значит, с минусом будет больший корень.
Ответ: ; .
Подведем итог
- Теорема Виета используется только в приведенных квадратных уравнениях.
- Используя теорему Виета можно найти корни подбором, устно.
- Если уравнение не приводится или не нашлось ни одной подходящей пары множителей свободного члена, значит целых корней нет, и нужно решать другим способом (например, через дискриминант).
3. Метод выделения полного квадрата
Если все слагаемые, содержащие неизвестное, представить в виде слагаемых из формул сокращенного умножения - квадрата суммы или разности - то после замены переменных можно представить уравнение в виде неполного квадратного уравнения типа.
Например:
Пример 32
Решите уравнение: .
Решение:
Ответ:
Пример 33
Решите уравнение: .
Решение:
Ответ:
В общем виде преобразование будет выглядеть так:
Отсюда следует: .
Ничего не напоминает?
Это же дискриминант! Вот именно, формулу дискриминанта так и получили.
КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ
Квадратное уравнение - это уравнение вида, где - неизвестное, - коэффициенты квадратного уравнения, - свободный член.
Полное квадратное уравнение - уравнение, в котором коэффициенты, не равны нулю.
Приведенное квадратное уравнение - уравнение, в котором коэффициент, то есть: .
Неполное квадратное уравнение - уравнение, в котором коэффициент и или свободный член с равны нулю:
- если коэффициент, уравнение имеет вид: ,
- если свободный член, уравнение имеет вид: ,
- если и, уравнение имеет вид: .
1. Алгоритм решения неполных квадратных уравнений
1.1. Неполное квадратное уравнение вида, где, :
1) Выразим неизвестное: ,
2) Проверяем знак выражения:
- если, то уравнение не имеет решений,
- если, то уравнение имеет два корня.
1.2. Неполное квадратное уравнение вида, где, :
1) Вынесем общим множитель за скобки: ,
2) Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, уравнение имеет два корня:
1.3. Неполное квадратное уравнение вида, где:
Данное уравнение всегда имеет только один корень: .
2. Алгоритм решения полных квадратных уравнений вида где
2.1. Решение с помощью дискриминанта
1) Приведем уравнение к стандартному виду: ,
2) Вычислим дискриминант по формуле: , который указывает на количество корней уравнения:
3) Найдем корни уравнения:
- если, то уравнение имеет корня, которые находятся по формуле:
- если, то уравнение имеет корень, который находится по формуле:
- если, то уравнение не имеет корней.
2.2. Решение с помощью теоремы Виета
Сумма корней приведенного квадратного уравнения (уравнения вида, где) равна, а произведение корней равно, т.е. , а.
2.3. Решение методом выделения полного квадрата
На занятии будет введено понятие квадратного уравнения, рассмотрены его два вида: полное и неполное. Отдельное внимание на уроке будет уделено разновидностям неполных квадратных уравнений, во второй половине занятия будет рассмотрено множество примеров.
Тема: Квадратные уравнения .
Урок: Квадратные уравнения. Основные понятия
Определение. Квадратным уравнением называется уравнение вида
Фиксированные действительные числа, которые задают квадратное уравнение. Эти числа имеют определенные названия:
Старший коэффициент (множитель при );
Второй коэффициент (множитель при );
Свободный член (число без множителя-переменной).
Замечание. Следует понимать, что указанная последовательность записи слагаемых в квадратном уравнении является стандартной, но не обязательной, и в случае их перестановки необходимо уметь определять численные коэффициенты не по их порядковому расположению, а по принадлежности к переменным.
Определение. Выражение носит название квадратный трехчлен .
Пример 1. Задано квадратное уравнение . Его коэффициенты:
Старший коэффициент;
Второй коэффициент (обратите внимание, что коэффициент указывается со знаком передним);
Свободный член.
Определение. Если , то квадратное уравнение называется неприведенным , а если , то квадратное уравнение называется приведенным .
Пример 2. Привести квадратное уравнение . Разделим обе его части на 2: .
Замечание. Как видно из предыдущего примера, делением на старший коэффициент мы не изменили уравнение, но изменили его форму (сделали приведенным), аналогично его можно было и умножить на какое-нибудь ненулевое число. Таким образом, квадратное уравнение задается не единственной тройкой чисел, а говорят, что задается с точностью до ненулевого множества коэффициентов .
Определение. Приведенное квадратное уравнение получают из неприведенного путем деления на старший коэффициент , и оно имеет вид:
.
Приняты следующие обозначения: . Тогда приведенное квадратное уравнение имеет вид:
.
Замечание . В приведенной форме квадратного уравнения видно, что квадратное уравнение можно задать всего двумя числами: .
Пример 2 (продолжение). Укажем коэффициенты, которые задают приведенное квадратное уравнение . , . Эти коэффициенты также указываются с учетом знака. Эти же два числа задают и соответствующее неприведенное квадратное уравнение .
Замечание . Соответствующие неприведенное и приведенное квадратные уравнения являются одинаковыми, т.е. имеют одинаковые наборы корней.
Определение . Некоторые из коэффициентов в неприведенной форме или в приведенной форме квадратного уравнения могут равняться нулю. В таком случае квадратное уравнение называют неполным . Если же все коэффициенты ненулевые, то квадратное уравнение называют полным .
Существует несколько видов неполного квадратного уравнения.
Если решение полного квадратного уравнения мы пока не рассматривали, то решить неполное мы легко сможем уже известными нам методами.
Определение. Решить квадратное уравнение - значит найти все значения переменной (корни уравнения), при которых данное уравнение обращается в верное числовое равенство, или установить, что таких значений нет.
Пример 3. Рассмотрим пример указанного вида неполных квадратных уравнений. Решить уравнение .
Решение. Вынесем общий множитель . Уравнения такого типа мы умеем решать по следующему принципу: произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю, а другой при этом значении переменной существует . Таким образом:
Ответ. ; .
Пример 4. Решить уравнение .
Решение. 1 способ. Разложим на множители по формуле разности квадратов
, следовательно, аналогично предыдущему примеру или .
2 способ. Перенесем свободный член вправо и извлечем квадратный корень из обеих частей .
Ответ . .
Пример 5. Решить уравнение .
Решение. Перенесем свободный член вправо , но , т.е. в уравнении неотрицательное число приравнивается к отрицательному, что не имеет смысла ни при каких значениях переменной, следовательно, корней нет.
Ответ. Корней нет.
Пример 6 .Решить уравнение .
Решение . Разделим обе части уравнения на 7: .
Ответ . 0.
Рассмотрим примеры, в которых сначала необходимо привести квадратное уравнение к стандартной форме, а затем уже его решать.
Пример 7 . Решить уравнение .
Решение . Для приведения квадратного уравнения к стандартной форме необходимо перенести все слагаемые в одну сторону, например, в левую и привести подобные.
Получено неполное квадратное уравнение, которое мы уже умеем решать, получаем, что или .
Ответ . .
Пример 8 (текстовая задача) . Произведение двух последовательных натуральных чисел в два раза больше квадрата меньшего из них. Найдите эти числа.
Решение . Текстовые задачи, как правило, решаются по следующему алгоритму.
1) Составление математической модели . На этом этапе необходимо перевести текст задачи на язык математических символов (составить уравнение).
Пусть некое первое натуральное число обозначим неизвестной , тогда следующее за ним (числа последовательные) будет . Меньшее из этих чисел - это число , запишем уравнение по условию задачи:
, где . Математическая модель составлена.
Класс: 8
Рассмотрим стандартные (изучаемые в школьном курсе математики) и нестандартные приёмы решения квадратных уравнений.
1. Разложение левой части квадратного уравнения на линейные множители.
Рассмотрим примеры:
3) х 2 + 10х – 24 = 0.
6(х 2 + х – х) = 0 | : 6
х 2 + х – х – = 0;
х(х – ) + (х – ) = 0;
х(х – ) (х + ) = 0;
= ; – .Ответ: ; – .
Для самостоятельной работы:
Решите квадратные уравнения, применяя метод разложения левой части квадратного уравнения на линейные множители.
а) х 2 – х = 0; г) х 2 – 81 = 0; ж) х 2 + 6х + 9 = 0; |
б) х 2 + 2х = 0; д) 4х 2 – = 0; з) х 2 + 4х + 3 = 0; |
в) 3х 2 – 3х = 0; е) х 2 – 4х + 4 = 0; и) х 2 + 2х – 3 = 0. |
а) 0; 1 | б) -2; 0 | в) 0; 1 |
2. Метод выделения полного квадрата.
Рассмотрим примеры:
Для самостоятельной работы.
Решите квадратные уравнения, применяя метод выделения полного квадрата.
3. Решение квадратных уравнений по формуле.
ах 2 + вх + с = 0, (а | · 4а
4а 2 х 2 + 4ав + 4ас = 0;
2ах + 2ах·2в + в 2 – в 2 + 4ас = 0;
2 = в 2 – 4ас; = ± ;Рассмотрим примеры.
Для самостоятельной работы.
Решите квадратные уравнения, применяя формулу х 1,2 =.
4. Решение квадратных уравнений с использованием теоремы Виета (прямой и обратной)
x 2 + px +q = 0 – приведённое квадратное уравнение
по теореме Виета.Если то уравнение имеет два одинаковых корня по знаку и это зависит от коэффициента .
Если p, то .
Если p, то.
Например:
Если то уравнение имеет два различных по знаку корня, причём больший по модулю корень будет , если p и будет , если p.
Например:
Для самостоятельной работы.
Не решая квадратного уравнения, по обратной теореме Виета определите знаки его корней:
а, б, к, л – различные корни;
в, д, з – отрицательные;
г, е, ж, и, м – положительные;
5. Решение квадратных уравнений методом “переброски”.
Для самостоятельной работы.
Решите квадратные уравнения, применяяметод “переброски”.
6. Решение квадратных уравнений с применением свойств его коэффициентов.
I. ax 2 + bx + c = 0, где a 0
1) Если а + b + с = 0, то х 1 = 1; х 2 =
Доказательство:
ax 2 + bx + c = 0 |: а
х 2 + х + = 0.
По теореме Виета
По условию а + b + с = 0, тогда b = -а – с. Далее получим
Из этого следует, что х 1 =1; х 2 = . Что и требовалось доказать.
2) Если а – b + с = 0 (или b = а +с) , то х 1 = – 1; х 2 = –
Доказательство:
По теореме Виета
По условию а – b + с = 0 , т.е. b = а +с. Далее получим:
Поэтому х 1 = – 1; х 2 = – .
Рассмотрим примеры.
1) 345 х 2 – 137 х – 208 = 0.
а + b + с = 345 – 137 – 208 = 0
х 1 = 1; х 2 = =
2) 132 х 2 – 247 х + 115 = 0.
а + b + с = 132 -247 -115 = 0.
х 1 = 1; х 2 = =
Ответ : 1;
Для самостоятельной работы.
Применяя свойства коэффициентов квадратного уравнения, решите уравнения
II. ax 2 + bx + c = 0, где a 0
х 1,2 = . Пусть b = 2k, т.е. чётное. Тогда получим
х 1,2 = = = =
Рассмотрим пример:
3х 2 – 14х + 16 = 0 .
D 1 = (-7) 2 – 3·16 = 49 – 48 = 1
х 1 = = 2; х 2 =
Ответ : 2;
Для самостоятельной работы.
а) 4х 2 – 36х + 77 = 0
б) 15х 2 – 22х – 37 = 0
в) 4х 2 + 20х + 25 = 0
г) 9х 2 – 12х + 4 = 0
Ответы :
III. x 2 + px + q = 0
х 1,2 = – ± 2 – q
Рассмотрим пример:
х 2 – 14х – 15 = 0
х 1,2 = 7 = 7
х 1 = -1 ; х 2 = 15.
Ответ : -1; 15.
Для самостоятельной работы.
а) х 2 – 8х – 9 = 0
б) х 2 + 6х – 40 = 0
в) х 2 + 18х + 81 = 0
г) х 2 – 56х + 64 = 0
7. Решение квадратного уравнения с помощью графиков.
а) х 2 – 3х – 4 = 0
Ответ: -1; 4
б) х 2 – 2х + 1 = 0
в) х 2 – 2х + 5 = 0
Ответ: нет решений
Для самостоятельной работы.
Решить квадратные уравнения графически:
8. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.
ax 2 + bx + c = 0,
х 2 + х + = 0.
х 1 и х 2 – корни.
Пусть А(0; 1), С(0;
По теореме о секущих:
ОВ· ОД = ОА · ОС.
Поэтому имеем:
х 1 · х 2 = 1 · ОС;
ОС = х 1 х 2
К(; 0), где = -
F(0; ) = (0; ) = )
1) Построим точку S(-; ) – центр окружности и точку А(0;1).
2) Проведём окружность с радиусом R = SA/
3) Абсциссы точек пересечения этой окружности с осью ох являются корнями исходного квадратного уравнения.
Возможны 3 случая:
1) R > SK (или R > ).
Окружность пересекает ось ох в точке В(х 1 ; 0) и D(х 2 ; 0), где х 1 и х 2 – корни квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0.
2) R = SK (или R = ).
Окружность касается оси ох в тоске В 1 (х 1 ; 0), где х 1 – корень квадратного уравнения
ax 2 + bx + c = 0.
3) R < SK (или R < ).
Окружность не имеет общих точек с осью ох, т.е. нет решений.
1) x 2 – 2x – 3 = 0.
Центр S(-; ),т.е.
х 0 = = – = 1,
у 0 = = = – 1.
(1; – 1) – центр окружности.
Проведём окружность (S; AS), где А(0; 1).
9. Решение квадратных уравнений с помощью номограммы
Для решения используют Четырёхзначные математические таблицы В.М. Брадиса (таблица XXII, стр. 83).
Номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения x 2 + px + q = 0, по его коэффициентам определить корни уравнения. Например:
5) z 2 + 4z + 3 = 0.
Оба корня отрицательные. Поэтому сделаем замену: z 1 = – t. Получим новое уравнение:
t 2 – 4t + 3 = 0.
t 1 = 1 ; t 2 = 3
z 1 = – 1 ; z 2 = – 3.
Ответ: – 3; – 1
6) Если коэффициенты p и q выходят за пределы шкалы, то выполняют подстановку z = k · t и решают с помощью номограммы уравнение: z 2 + pz + q = 0.
к 2 t 2 + p· kt + q = 0. |: к 2
к берут с расчётом, чтобы имели место неравенства:
Для самостоятельной работы.
у 2 + 6у – 16 = 0.
у 2 + 6у = 16, |+ 9
у 2 + 6у + 9 = 16 + 9
у 1 = 2, у 2 = -8.
Ответ: -8; 2
Для самостоятельной работы.
Решите геометрически уравнение у 2 – 6у – 16 = 0.