Действия с двойными неравенствами. Решаем систему неравенств — свойства и методы вычисления. Другие важные свойства числовых неравенств
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Сбор и использование персональной информации
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
Как мы используем вашу персональную информацию:
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
- В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
Системой неравенств принято называть запись нескольких неравенств под знаком фигурной скобки (при этом число и вид неравенств, входящих в систему, может быть произвольным).
Чтобы решить систему, необходимо найти пересечение решений всех входящих в неё неравенств. Решением неравенства в математике называется всякое значение переменой, при котором данное неравенство верно. Другими словами, требуется найти множество всех его решений – оно и будет называться ответом. В качестве примера попробуем научиться решать систему неравенств методом интервалов.
Свойства неравенств
Для решения поставленной задачи важно знать основные свойства, присущие неравенствам, которые можно сформулировать следующим образом:
- К обеим частям неравенства можно прибавить одну и ту же функцию, определённую в области допустимых значений (ОДЗ) данного неравенства;
- Если f(x) > g(x) и h(x) – любая функция определенная в ОДЗ неравенства, то f(x) + h(x) > g(x) + h(x);
- Если обе части неравенства умножить на положительную функцию, определённую в ОДЗ данного неравенства (или на положительное число), то получим неравенство, равносильное исходному;
- Если обе части неравенства умножить на отрицательную функцию, определённую в ОДЗ данного неравенства (или на отрицательное число) и знак неравенства изменить на противоположный, то полученное неравенство эквивалентно данному неравенству;
- Неравенства одинакового смысла можно почленно складывать, а неравенства противоположного смысла можно почленно вычитать;
- Неравенства одного смысла с положительными частями можно почленно умножать, а неравенства, образованные неотрицательными функциями, можно почленно возводить в положительную степень.
Чтобы решить систему неравенств, нужно решить каждое неравенство отдельно, а затем сопоставить их. В результате будет получен положительный или отрицательный ответ, который означает, имеет ли система решение или нет.
Метод интервалов
При решении системы неравенств математики часто прибегают к методу интервалов, как к одному из наиболее эффективных. Он позволяет свести решение неравенства f(x) > 0 (<, <, >) к решению уравнения f(x) = 0.
Суть метода заключается в следующем:
- Найти область допустимых значений неравенства;
- Привести неравенство к виду f(x) > 0(<, <, >), то есть перенести правую часть влево и упростить;
- Решить уравнение f(x) = 0;
- Изобразить на числовой прямой схему функции. Все точки, отмеченные на ОДЗ и ограничивающие его, разбивают это множество на так называемые интервалы знакопостоянства. На каждом таком интервале определяется знак функции f(х);
- Записать ответ в виде объединения отдельных множеств, на которых f{x) имеет соответствующий знак. Точки ОДЗ, являющиеся граничными, включаются (или не включаются) в ответ после дополнительной проверки.
Поле действительных чисел обладает свойством упорядоченности (п. 6, стр. 35): для любых чисел а, b имеет место одно и только одно из трех соотношений: или . При этом запись а > b означает, что разность положительна, а запись разность отрицательна. В отличие от поля действительных чисел, поле комплексных чисел не упорядочивается: для комплексных чисел понятия «больше» и «меньше» не определяются; поэтому в данной главе рассматриваются только действительные числа.
Соотношения назовем неравенствами, числа а и b - членами (или частями) неравенства, знаки > (больше) и Неравенства а > b и с > d называются неравенствами одинакового (или одного и того же) смысла; неравенства а > b и с Из определения неравенства сразу следует, что
1) любое положительное число больше нуля;
2) любое отрицательное число меньше нуля;
3) любое положительное число больше любого отрицательного числа;
4) из двух отрицательных чисел больше то, абсолютная величина которого меньше.
Все эти утверждения допускают простое геометрическое истолкование. Пусть положительное направление числовой оси идет вправо от начальной точки; тогда, каковы бы ни были знаки чисел, большее из них изображается точкой, лежащей правее точки, изображающей меньшее число.
Неравенства обладают следующими основными свойствами.
1. Несимметричность (необратимость): если , то , и обратно.
Действительно, если разность положительна, то разность отрицательна. Говорят, что при перестановке членов неравенства надо смысл неравенства изменить на противоположный.
2. Транзитивность: если , то . Действительно, из положительности разностей следует и положительность
Кроме знаков неравенства применяют также знаки неравенства и Они определяются следующим образом: запись означает, что либо либо Поэтому, например, можно писать , а также . Обычно неравенства, записанные с помощью знаков называют строгими неравенствами, а записанные с помощью знаков нестрогими неравенствами. Соответственно и сами знаки называют знаками строгого или нестрогого неравенства. Свойства 1 и 2, рассмотренные выше, верны и для нестрогих неравенств.
Рассмотрим теперь действия, которые можно производить над одним или несколькими неравенствами.
3. От прибавления к членам неравенства одного и того же числа смысл неравенства не изменяется.
Доказательство. Пусть даны неравенство и произвольное число . По определению разность положительна. Прибавим к этому числу два противоположных числа от чего оно не изменится, т. е.
Это равенство можно переписать так:
Из этого следует, что разность положительна, т. е. что
а это и надо было доказать.
На этом основана возможность перекоса любого члена неравенства из одной его части в другую с противоположным знаком. Например, из неравенства
следует, что
4. При умножении членов неравенства на одно и то же положительное число смысл неравенства не изменяется; при умножении членов неравенства на одно и то же отрицательное число смысл неравенства изменяется на противоположный.
Доказательство. Пусть тогда Если то так как произведение положительных чисел положительно. Раскрыв скобки в левой части последнего неравенства, получим , т. е. . Аналогичным образом рассматривается случай .
Точно такой же вывод можно сделать и относительно деления частей неравенства на какое-либо отличное от нуля число, так как деление на число равносильно умножению на число а числа имеют одинаковые знаки.
5. Пусть члены неравенства положительны. Тогда при возведении его членов в одну и ту же положительную степень смысл неравенства не изменяется.
Доказательство. Пусть этом случае по свойству транзитивности и . Тогда в силу монотонного возрастания степенной функции при и положительном будем иметь
В частности, если где -натуральное число, то получим
т. е. при извлечении корня из обеих частей неравенства с положительными членами смысл неравенства не изменяется.
Пусть члены неравенства отрицательны. Тогда нетрудно доказать, что при возведении его членов в нечетную натуральную степень смысл неравенства не изменится, а при возведении в четную натуральную степень изменится на противоположный. Из неравенств с отрицательными членами можно также извлекать корень нечетной степени.
Пусть, далее, члены неравенства имеют разные знаки. Тогда при возведении его в нечетную степень смысл неравенства не изменится, а при возведении в четную степень о смысле получающегося неравенства ничего определенного в общем случае сказать нельзя. В самом деле, при возведении числа в нечетную степень знак числа сохраняется и поэтому смысл неравенства не изменяется. При возведении же неравенства в четную степень образуется неравенство с положительными членами, и его смысл будет зависеть от абсолютных величин членов исходного неравенства может получиться неравенство того же смысла, что и исходное, неравенство противоположного смысла и даже равенство!
Все сказанное о возведении неравенств в степень полезно проверить на следующем примере.
Пример 1. Возвести в указанную степень следующие неравенства, изменив в случае необходимости знак неравенства на противоположный или на знак равенства.
а) 3 > 2 в степень 4; б) в степень 3;
в) в степень 3; г) в степень 2;
д) в степень 5; е) в степень 4;
ж) 2 > -3 в степень 2; з) в степень 2,
6. От неравенства можно перейти к неравенству между если члены неравенства оба положительны или оба отрицательны, то между их обратными величинами имеется неравенство противоположного смысла:
Доказательство. Если а и b - одного знака, то их произведение положительно. Разделим на неравенство
т. е. , что и требовалось получить.
Если члены неравенства имеют противоположные знаки, то неравенство между их обратными величинами имеет тот же смысл, так как знаки обратных величин те же, что и знаки самих величин.
Пример 2. Проверить последнее свойство 6 на следующих неравенствах:
7. Логарифмирование неравенств можно производить лишь в случае, когда члены неравенств положительны (отрицательные числа и нуль логарифмов не имеют).
Пусть . Тогда при будет
а при будет
Правильность этих утверждений основана на монотонности логарифмической функции, которая возрастает, если основание и убывает при
Итак, при логарифмировании неравенства, состоящего из положительных членов, по основанию, большему единицы, образуется неравенство того же смысла, что и данное, а при логарифмировании его по положительному основанию, меньшему единицы, - неравенство противоположного смысла.
8. Если , то если , но , то .
Это сразу следует из свойств монотонности показательной функции (п. 42), которая возрастает в случае и убывает, если
При почленном сложении неравенств одного и того же смысла образуется неравенство того же смысла, что и данные.
Доказательство. Докажем это утверждение для двух неравенств, хотя оно верно для любого количества складываемых неравенств. Пусть даны неравенства
По определению числа будут положительными; тогда положительной оказывается и их сумма, т. е.
Группируя иначе слагаемые, получим
и, следовательно,
а это и надо было доказать.
Нельзя сказать Ничего определенного в общем случае о смысле неравенства, получающегося при сложении двух или нескольких неравенств разного смысла.
10. Если из одного неравенства почленно вычесть другое неравенство противоположного смысла, то образуется неравенство того же смысла, что и первое.
Доказательство. Пусть даны два неравенства разного смысла. Второе из них по свойству необратимости можно переписать так: d > с. Сложим теперь два неравенства одинакового смысла и получим неравенство
того же смысла. Из последнего находим
а это и надо было доказать.
Нельзя сказать ничего определенного в общем случае о смысле неравенства, получающегося при вычитании из одного неравенства другого неравенства того же смысла.
1 . Если a > b , то b < a ; наоборот, если а < b , то b > a .
Пример . Если 5х – 1 > 2x + 1 , то 2х +1< 5x — 1 .
2 . Если a > b и b > с , то а > с . Точно так же, а < b и b < с , то a < с .
Пример . Из неравенств x > 2у , 2y > 10 следует, что x >10 .
3
. Если a > b,
то a + c > b + с
и a – c > b — c
. Если же а < b
, то а + с
Пример 1 . Дано неравенство х + 8>3 . Вычитая из обеих частей неравенства число 8, находим х > — 5 .
Пример 2 . Дано неравенство х – 6 < — 2 . Прибавляя обеим частям 6, находим х < 4 .
4 . Если a > b и с > d, то a + c >b + d ; точно так же если а < b и с < d , то a + с < b + d , т. е. два неравенства одинакового смысла) можно почленно складывать. Это справедливо и для любого числа неравенств, например, если a1 > b1, a2 > b2, a3 > b3 , то a1 + a2 + a3 > b1+b2 +b3 .
Пример 1 . Неравенства — 8 > — 10 и 5 > 2 верны. Складывая их почленно, находим верное неравенство — 3 > — 8 .
Пример 2 . Дана система неравенств (1/2)х + (1/2)у < 18 ; (1/2)х — (1/2)у < 4 . Складывая их почленно, находим x < 22 .
Замечание. Два неравенства одинакового смысла нельзя почленно вычитать друг из друга, так как результат может быть верным, но может быть и неверным. Например, если из неравенства 10 > 8 2 > 1 , то получим верное неравенство 8 > 7 но если из того же неравенства 10 > 8 почленно вычесть неравенство 6 > 1 , то получим нелепость. Сравнить следующий пункт.
5 . Если a > b и c < d , то а – с > b – d ; если а < b и с — d , то а — с < b — d , т. е. из одного неравенства можно почленно вычесть другое неравенство противоположного смысла), оставляя знак того неравенства, из которого вычиталось другое.
Пример 1 . Неравенства 12 < 20 и 15 > 7 верны. Вычитая почленно второе из первого и оставляя знак первого, получаем верное неравенство — 3 < 13 . Вычитая почленно первое из второго и оставляя знак второго, находим верное неравенство 3 > — 13 .
Пример 2 . Дана система неравенств (1/2)х + (1/2)у < 18; (1/2)х — (1/2)у > 8 . Вычитая из первого неравенства второе, находим y < 10 .
6 . Если а > b и m - положительное число, то ma > mb и a/n > b/n , т. е. обе части неравенства можно разделить или умножить на одно и то же положительное число (знак неравенства остается тем же).Если же a > b и n — отрицательное число, то na < nb и a/n < b/n , т. е. обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, но при том знак неравенства нужно изменить на противоположный.
Пример 1 . Разделив обе части верного неравенства 25 > 20 на 5 , получим верное неравенство 5 > 4 . Если же мы делим обе части неравенства 25 > 20 на — 5 , то нужно переменить знак > на < , и тогда получим верное неравенство — 5 < — 4 .
Пример 2 . Из неравенства 2х < 12 следует, что х < 6 .
Пример 3 . Из неравенства -(1/3)х — (1/3)х > 4 следует, что x < — 12 .
Пример 4 . Дано неравенство х/к > у/l ; из него следует, что lx > ky , если знаки чисел l и k одинаковы, и что lx < ky , если знаки чисел l и k противоположны.
